RINCÓN MATEMÁTICO: enero 2012

martes, 31 de enero de 2012

SOLIDOS DE REVOLUCION

- Cálculo de volúmenes de revolución:
Sea f una función real continua en [a, b], entonces el volumen de revolución engendrado al girar en torno al eje X, el recinto limitado por las rectas x=a, x=b, el eje X y la gráfica de f(x) viene dado por:
V =

[ f(x) ]² dx
- Cálculo de la longitud de una curva:

Sea f una función real continua en [a,b], tal que su derivada f ' también es continua en [a,b]; entonces la longitud de la gráfica de f entre x=a y x=b es:

En coordenadas paramétricas, una curva viene definida por la expresión:

En este caso, la longitud de la curva viene dada por:

- Cálculo del área lateral de una superficie de revolución:

Sea f una función real continua en [a,b], tal que su derivada f ' también es continua en [a,b]; entonces el área lateral de revolución engendrada por f(x) al girar en torno al eje X, entre las rectas x=a y x=b, es:

CONCEPTOS TEORICOS SOBRE LA INTEGRAL DE RIEMANN

Introducción

Consideraremos una función real y = f(x) positiva y acotada, definida en el intervalo cerrado [a, b].

Se llama integral definida de la función f(x)0 entre a y b (los límites de integración), al área de la porción de plano limitada por la gráfica de la función, el eje X y las rectas paralelas x = a y x = b.

Comenzaremos con las definiciones de suma superior y suma inferior de Darboux de una función definida en un intervalo [a,b], asociadas a una partición del mismo. Estas sumas son aproximaciones al área que queremos calcular.

Veremos algunas de sus propiedades, en particular las referentes a la relación entre ambas sumas y a su comportamiento cuando se consideran particiones cada vez más finas (que corresponderán a aproximaciones del área cada vez mejores). Estas propiedades nos garantizan la existencia del supremo de las sumas inferiores y del ínfimo de las sumas superiores, siendo estos valores las integrales inferior y superior, respectivamente, de Darboux, en el intervalo [a,b].

Al ser f positiva en [a,b], estos valores nos proporcionan estimaciones, por debajo y por arriba del área encerrada por f en [a,b]. Se dirá que f es integrable Darboux en [a,b] si "ambas aproximaciones coinciden". La integral de Riemann se define de forma ligeramente diferente, a partir de particiones evaluadas. La integral de Riemann y la de Darboux son equivalentes. Debido a este hecho nos referiremos como Integral de Riemann a todas ellas. En este caso se define la integral de f en el intervalo [a,b] como el valor común de las integrales inferior y superior.

Daremos el criterio de integrabilidad de Riemann que nos permite estudiar la integrabilidad de una función sin necesidad de calcular las integrales superior e inferior. Esto nos permite hacer diferentes tipos de aproximación de la integral.

Entre las propiedades fundamentales de la integral veremos la linealidad, la monotonía y la aditividad respecto del intervalo.

Daremos también, uno de los resultados centrales de toda la Matemática, el Teorema Fundamental del Cálculo, que relaciona dos ramas centrales del Análisis: el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral. Así mismo, veremos la regla de Barrow que permite calcular la integral de Riemann de una función integrable a partir de una primitiva de la función.

Algunas de las aplicaciones prácticas son el cálculo de límites de algunas sucesiones cuyos términos están formados por sumas con un número creciente de términos, métodos para calcular áreas, longitudes de arcos de curva, áreas y volúmenes de revolución.

Partición de un intervalo

- Una partición P del intervalo cerrado [a, b] es un conjunto finito de puntos P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} tal que:

a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b

- La diferencia máxima entre cualesquiera dos puntos consecutivos de la partición, se llama norma de la partición, y se denota por || P || , es decir:

|| P || = max {x_j - x_j-1 , j = 1 ... n}

- Un refinamiento de la partición P es otra partición P' que contiene todos los puntos de P y además otros puntos adicionales, también ordenados en orden de magnitud.

Suma de Riemann superior e inferior.

Sea P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma superior de f respecto de la partición P se define así:

La suma inferior de f respecto de la partición P se define así:

Variación de las sumas de Riemann

Sea P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} una partición del intervalo cerrado [a, b] y f una función acotada definida en ese intervalo. Entonces:

La suma inferior aumenta a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o superior, y el área siempre aumenta. Es decir:

I(f, P)

I(f, P') para todo refinamiento P' de la partición P

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que aumenta:

La suma superior disminuye a medida que se van tomando refinamientos de la partición P, porque cada rectángulo se divide en otros de altura igual o inferior, y el área siempre disminuye. Es decir:

Gráficamente, se puede ver en color naranja el área que disminuye.

Integral de Riemann superior e inferior. Funciones Riemann-Integrables

Sea f una función acotada definida en un intervalo cerrado [a, b]. Se define:

la integral superior I^*( f ) = inf { S(f, P) : P es partición de [a, b] }

la integral inferior I_*( f ) = sup { I(f, P) : P es partición de [a, b] }

Entonces si I^*( f ) = I_*( f ) la función f es Riemann-Integrable y la integral de Riemann de f sobre el intervalo [a, b] se denota por:

f(x) dx

Hay que destacar que las sumas superior e inferior dependen de la partición particular escogida, mientras que las integrales superior e inferior son independientes de las particiones elegidas. Sin embargo, esta definición es difícil para ser aplicada de forma práctica, pues es necesario conocer el ínfimo y el supremo sobre cualquier partición.

Caracterización de las funciones Riemann-Integrables

Supongamos que f es una función acotada definida en el intervalo cerrado [a, b]. Entonces f es integrable Riemann si y sólo si para todo

> 0 existe al menos una partición P tal que

| S(f, P) - I(f, P) | <

donde S(f, P) es la suma superior de f respecto de la partición P, e I(f, P) es la suma inferior de f respecto de la partición P

Sumas de Riemann

- Si P = { x₀, x₁, x₂, ..., x_n} es una partición del intervalo cerrado [a, b] y f es una función definida en ese intervalo, entonces la Suma de Riemann de f respecto de la partición P se define como:

R(f, P) = f(t_j) (x_j - x_j-1)

donde t_j es un número arbitrario en el intervalo [x_j-1, x_j].

la suma de Riemann corresponde geométricamente con la suma
de las áreas de los rectángulos con base x_j - x_j-1 y altura f(t_j).

Tipos de aproximación de la integral

Por tanto, surge la duda de qué punto t_j tomar dentro de cada subintervalo de la partición para evaluar la función en ese punto. En este sentido hay varias posibilidades para elegir el punto t_j en el subintervalo [x_j-1, x_j], y las más utilizadas son éstas:

- Punto izquierdo: se toma como valor t_j el límite inferior del subintervalo, es decir, x_j-1. Gráficamente:

- Punto derecho: se toma como valor t_j el límite superior del subintervalo, es decir, x_j. Gráficamente:

- Punto medio: se toma como valor t_j el punto medio entre los límites del subintervalo, es decir, (x_j-1+ x_j) / 2. Gráficamente:

- Punto aleatorio: se toma como valor t_j un punto elegido aleatoriamente entre todos los puntos del subintervalo. Gráficamente:

- Punto ínfimo: se toma como valor t_j aquel punto del subintervalo tal que f(t_j) es el ínfimo en ese subintervalo. Gráficamente:

- Punto supremo: se toma como valor t_j aquel punto del subintervalo tal que f(t_j) es el supremo en ese subintervalo. Gráficamente:

Los dos últimos tipos de aproximación no son útiles en la práctica, pues para aplicarlos sería necesario calcular el ínfimo o el supremo de f(t_j), teniendo que recorrer todo el subintervalo. Pero esto no es necesario; ¿Por qué?

Si una función es Riemann-Integrable, podemos aproximar la integral por sumas de Riemann R(f,P) tomando t_j como queramos.

Veamos esto: si la función es Riemann-Integrable, cualquier suma de Riemann R(f, P) tiende al valor de la integral, porque para cualquier punto t_j tenemos que d_jf(t_j)

c_j (siendo d_j el ínfimo y c_j el supremo en ese subintervalo), luego I(f,P)

R(f,P)

S(f,P).

Funciones Riemann-Integrables

Toda función continua en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.

Toda función continua y acotada en un intervalo cerrado y acotado, excepto en una cantidad numerable de puntos, es Riemann-Integrable.

Recíprocamente, si una función acotada definida en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable, entoces es continua en ese intervalo excepto como mucho en una cantidad numerable de puntos.

Toda función monótona y acotada en un intervalo cerrado y acotado es Riemann-Integrable.

Veamos un ejemplo de una función Riemann-Integrable no continua. Definamos la función:

La representación gráfica de esta función es:

Esta función es Riemann-Integrable, porque se pueden calcular las áreas de los rectángulos escalonados. Y sin embargo, no es continua en una cantidad numerable de puntos, es decir, en 1/n, siendo n un número natural.

Teorema Fundamental del Cálculo

Sea f una función integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a, b], se define una nueva función:

F(x) = f(t) dt

Entonces F es continua en [a, b]. Es más, si f es continua en un punto c del intervalo (a,b), entonces F es derivable en c y

F' (c) = f(c)

Evaluación de la integral: Regla de Barrow

Relaciona el Cálculo Integral con el Cálculo Diferencial. Sea f una función Riemann-Integrable definida en el intervalo cerrado y acotado [a, b].
Y sea F una primitiva de f en [a, b], es decir, F' (x) = f (x) para todo x perteneciente a [a, b].
Entonces: f(x) dx = F(b) - F(a)

Integral de Riemann de funciones no positivas

Hasta ahora se ha analizado la integral de funciones positivas. Para las funciones positivas, el valor de la integral coincide con el área que delimitan con el eje X y las rectas x=a y x=b
Se estudiarán en este punto las funciones no positivas.
Dada una función real no positiva definida en el intervalo [a,b], se puede descomponer en dos funciones f⁺(x) y f ^-(x) definidas así:

f⁺(x) = max { f(x), 0 } f ^-(x) = max { -f(x), 0 }

Así, tenemos que ambas funciones son positivas y f se puede definir en base a ellas de esta manera:

f(x) = f⁺(x) - f ^-(x)

Así que el problema se reduce a calcular la integral de dos funciones positivas. Tenemos, por tanto, que:

f(x) dx = f⁺(x) dx - f ^-(x) dx

domingo, 22 de enero de 2012

FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

<><>

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

CUBO DE UNA SUMA

(a + b)²

a² + 2ab+b²

(a+b)³

a³ + 3a²b + 3ab² +b³

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )²

a²- 2ab + b²

(a - b)³

a³ - 3a²b + 3ab² -b³

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA

(a + b)

(a - b)

a² -b²

<><><>

(x+a)

(x +b)

x² + (a+b)x +ab

viernes, 6 de enero de 2012

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Funciones trigonométricas en función de las otras cinco.
sen	$\operatorname{sen} \theta\$	$\sqrt{1 - \cos^2\theta}$	$\frac{\tan\theta}{\sqrt{1 + \tan^2\theta}}$	$\frac{1}{\sqrt{1+\cot^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}}{\sec \theta}$	$\frac{1}{\csc \theta}$
cos	$\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}$	$\cos \theta\$	$\frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2 \theta}}$	$\frac{\cot \theta}{\sqrt{1 + \cot^2 \theta}}$	$\frac{1}{\sec \theta}$	$\frac{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}{\csc \theta}$
tan	$\frac{\operatorname{sen}\theta}{\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	$\frac{\sqrt{1 - \cos^2\theta}}{\cos \theta}$	$\tan \theta\$	$\frac{1}{\cot \theta}$	$\sqrt{\sec^2\theta - 1}$	$\frac{1}{\sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
cot	${\sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta} \over \operatorname{sen} \theta}$	${\cos \theta \over \sqrt{1 - \cos^2\theta}}$	${1 \over \tan\theta}$	$\cot\theta\$	${1 \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\sqrt{\csc^2\theta - 1}$
sec	${1 \over \sqrt{1 - \operatorname{sen}^2\theta}}$	${1 \over \cos \theta}$	$\sqrt{1 + \tan^2\theta}$	${\sqrt{1 + \cot^2\theta} \over \cot \theta}$	$\sec\theta\$	${\csc\theta \over \sqrt{\csc^2\theta - 1}}$
csc	${1 \over \operatorname{sen} \theta}$	${1 \over \sqrt{1 - \cos^2 \theta}}$	${\sqrt{1 + \tan^2\theta} \over \tan \theta}$	$\sqrt{1 + \cot^2 \theta}$	${\sec \theta \over \sqrt{\sec^2\theta - 1}}$	$\csc \theta\$

De las definiciones de las funciones trigonométricas:

$\sec{x} = \frac{1} {\cos{x}} \qquad \csc{x}= \frac{1}{\operatorname{sen}{x}}$

Son más sencillas de probar en la circunferencia trigonométrica o goniométrica (que tiene radio igual a 1):

$\operatorname{sen}(x) = \operatorname{sen}(x + 2\pi) \qquad \cos(x) = \cos(x + 2\pi) \qquad \tan(x) = \tan(x + \pi)$

$\operatorname{sen}(-x) = \operatorname{sen}(x+\pi) \qquad \cos(-x) = -\cos(x+ \pi)$

$\tan(-x) = -\tan(x) \qquad \cot(-x) = -\cot(x)$

$\operatorname{sen}(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \qquad \cos(x) = \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \qquad \tan(x) = \cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$

A veces es importante saber que cualquier combinación lineal de una serie de ondas senoidales que tienen el mismo pero están desfasadas, es también una onda senoidal del mismo período pero con un desplazamiento de fase diferente. Dicho de otro modo:

$a\operatorname{sen}(x)+b\cos(x)=\sqrt{a^2+b^2}\cdot\operatorname{sen}\left( x+\arctan{\frac{b}{a}} \right)$

$\operatorname{sen}^2\left(x\right)+\cos^2\left(x\right)=1$

Es llamada identidad trigonométrica fundamental, y efectuando sencillas operaciones permite encontrar unas 24 identidades más, muy útiles para problemas introductorios del tipo conocido el valor de la función seno, obtenga el valor de las restantes (sin tabla ni calculadora).

Por ejemplo, si se divide ambos miembros por cos², se tiene:

$\tan^2\left(x\right)+1 = \sec^2\left(x\right)$

Calculando la recíproca de la expresión anterior:

$\cot^2\left(x\right) + 1 = \csc^2\left(x\right)$

Entonces puede expresarse la función seno según alguna otra conocida:

$\operatorname{sen}(x) = \sqrt{1-\cos^2(x)} \qquad \operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\tan^{-2}(x)}}$

$\operatorname{sen}(x) = \frac {1} {\sqrt{1+\cot^2(x)}} \qquad \operatorname{sen}(x) = \frac{1} {\sec{x}} \sqrt{\sec^2(x)-1}$

y análogamente con las restantes funciones .

Teoremas de la suma y diferencia de ángulos

Pueden demostrarse según la Fórmula de Euler o mediante la proyección de ángulos consecutivos. La identidad de la tangente surge del cociente entre coseno y seno, y las restantes de la recíproca correspondiente.

$\operatorname{sen}(x \pm y) = \operatorname{sen}(x) \cos(y) \pm \cos(x) \operatorname{sen}(y)$

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

$\tan(x \pm y) = \frac{\tan(x) \pm \tan(y)}{1 \mp \tan(x)\tan(y)}$

De lo que se sigue para determinados ángulos suplementarios:

$\operatorname{sen}(\pi \pm x) = \mp\operatorname{sen}(x)$

$\cos(\pi \pm x) = -\cos(x)$

$\tan(\pi \pm x) = \pm\tan(x)$

$\csc(\pi \pm x) = \mp\csc(x)$

Para ángulos complementarios:

$\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)$

$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \operatorname{sen}(x)$

$\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cot(x)$

$\csc\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sec(x)$

$\sec\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \csc(x)$

$\cot\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \tan(x)$

Para ángulos opuestos:

$\operatorname{sen}\left(-x\right) = -\operatorname{sen}\left(x\right)$

$\cos\left(-x\right) = \cos\left(x\right)$

$\tan\left(-x\right) = -\tan\left(x\right)$

$\csc\left(-x\right) = -\csc\left(x\right)$

$\sec\left(-x\right) = \sec\left(x\right)$

$\cot\left(-x\right) = -\cot\left(x\right)$

Identidades del ángulo múltiple

Si T_n es el n-simo Polinomio de Chebyshev entonces

$\operatorname{cos}(nx)=T_n(\cos(x)).$

Fórmula de De Moivre:

$\operatorname{cos}(nx)+i\operatorname{sen}(nx)=(\cos(x)+i\operatorname{sen}(x))^n$

Identidades del ángulo doble, triple y medio

Pueden obtenerse remplazándolo y por x (o sea $\operatorname{sen}(x+x)=\operatorname{sen}(2x)$ ) en las identidades anteriores, y usando el teorema de Pitágoras para los dos últimos (a veces es útil expresar la identidad en términos de seno, o de coseno solamente), o bien aplicando la Fórmula de De Moivre cuando

n = 2

Fórmula del ángulo doble
$\begin{align} \operatorname{sen} 2\theta &= 2 \operatorname{sen} \theta \cos \theta \ \\ &= \frac{2 \tan \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\begin{align} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \operatorname{sen}^2 \theta \\ &= 2 \cos^2 \theta - 1 \\ &= 1 - 2 \operatorname{sen}^2 \theta \\ &= \frac{1 - \tan^2 \theta} {1 + \tan^2 \theta} \end{align}$	$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta} {1 - \tan^2 \theta}\,$	$\cot 2\theta = \frac{\cot \theta - \tan \theta}{2}\,$
Fórmula del ángulo triple
$\operatorname{sen} 3\theta = 3 \operatorname{sen} \theta- 4 \operatorname{sen}^3\theta \,$	$\cos 3\theta = 4 \cos^3\theta - 3 \cos \theta \,$	$\tan 3\theta = \frac{3 \tan\theta - \tan^3\theta}{1 - 3 \tan^2\theta}$
Fórmula del ángulo medio
$\operatorname{sen} \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 - \cos \theta}{2}}$	$\cos \tfrac{\theta}{2} = \pm\, \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$	$\begin{align} \tan \tfrac{\theta}{2} &= \csc \theta - \cot \theta \\ &= \pm\, \sqrt{1 - \cos \theta \over 1 + \cos \theta} \\ &= \frac{\operatorname{sen} \theta}{1 + \cos \theta} \end{align}$	$\cot \tfrac{\theta}{2} = \csc \theta + \cot \theta$

Producto infinito de Euler

$\cos\left({\theta \over 2}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 4}\right) \cdot \cos\left({\theta \over 8}\right)\cdots = \prod_{n=1}^\infty \cos\left({\theta \over 2^n}\right) = {\operatorname{sen}(\theta)\over \theta}.$

Identidades para la reducción de exponentes

Resuelve las identidades tercera y cuarta del ángulo doble para cos²(x) y sin²(x).

Seno	$\operatorname{sen}^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$	$\operatorname{sen}^3\theta = \frac{3 \operatorname{sen}\theta - \operatorname{sen} 3\theta}{4}$
Coseno	$\cos^2\theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$	$\cos^3\theta = \frac{3 \cos\theta + \cos 3\theta}{4}$	$\cos^5\theta = \frac{10 \cos\theta + 5 \cos 3\theta + \cos 5\theta}{16}$
Otros	$\operatorname{sen}^2\theta \cos^2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{8}$	$\operatorname{sen}^3\theta \cos^3\theta = \frac{\operatorname{sen}^3 2\theta}{8}$

Paso de producto a suma

Puede probarse usando el teorema de la suma para expandir los segundos miembros.

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

$\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

$\operatorname{sen}(x) \cos(y) = {\operatorname{sen}(x + y) + \operatorname{sen}(x - y) \over 2}$

$\cos(x) \operatorname{sen}(y) = {\operatorname{sen}(x + y) - \operatorname{sen}(x - y) \over 2}$

Deducción de la identidad

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

Sabemos por el teorema de la suma y la resta que:

$\cos(x \pm y) = \cos(x) \cos(y) \mp \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

Si separamos la suma de la resta quedan entonces los dos posibles casos:

1): $\cos(x + y) = \cos(x) \cos(y) - \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$
2): $\cos(x - y) = \cos(x) \cos(y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

Si tomamos la ecuación 1) y despejamos cos(x)cos(y) nos queda que:

3): $\cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y)$

Y si sumamos el miembro de la derecha de la ecuación 2) al miembro izquierdo de la ecuación 3), y para mantener la igualdad se suma el lado izquierdo de la ecuación 2) en el lado derecho de la ecuación 3). (Recuerda que si se suma un elemento a ambos lados de la ecuación se mantiene la misma), quedaría:

$\cos(x) \cos(y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) + \cos(x) \cos(y)= \cos(x + y) + \operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) + \cos(x - y)$

Simplificando el elemento sin(x)sin(y) y sumando cos(x)cos(y) quedaría:

2cos(x)cos(y) = cos(x + y) + cos(x - y)

Y por último multiplicando ambos lados de la ecuación por ½ queda:

$\cos(x) \cos(y) = {\cos(x + y) + \cos(x - y) \over 2}$

Nota 1: este procedimiento también se puede aplicar para demostrar el origen de las otras dos ecuaciones simplemente cambiando los valores.

Nota 2: Usando 3) y el resultado anterior se obtiene también:

$\operatorname{sen}(x) \operatorname{sen}(y) = {\cos(x - y) - \cos(x + y) \over 2}$

Notar el cambio de signo.

Paso de suma a producto

Reemplazando x por (a + b) / 2 e "y por (a – b) / 2 en las identidades de producto a suma, se tiene:

$\operatorname{sen}(a) + \operatorname{sen}(b) = 2 \operatorname{sen}\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \cos\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\cos(a) - \cos(b) = -2 \operatorname{sen}\left( \frac{a + b}{2} \right) \operatorname{sen}\left( \frac{a - b}{2} \right)$

$\operatorname{sen}(a) - \operatorname{sen}(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2} \right) \operatorname{sen}\left( \frac{a - b}{2} \right)$

Paso de diferencia de cuadrados a producto

$1) \sin^2(x)-\sin^2(y)= \sin(x+y)\sin(x-y)\,$

$2) \cos^2(x)-\sin^2(y)= \cos(x+y)\cos(x-y)\,$

Deducción

1) recordando:que cateto opuesto sobre cateto adyacente

$\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)\,$

$\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)\,$

multiplicando

$\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2(x)\cos^2(y)-\sin^2(x)\sin^2(y)\,$

Sabemos que:

$\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\,$

$\sin^2(y)+\cos^2(y)=1\,$

el la primera ecuación transponemos $\cos^2(x)\,$ y en la segunda $\sin^2(y)\,$

De tal manera que obtendremos:

$\sin^2(x)=1-\cos^2(x)\,$

$\cos^2(y)=1-\sin^2(y)\,$

aplicando esto en la ecuación inicial

$\cos(x+y)\cos(x-y)= \cos^2(x)(1-\sin^2(y))-\sin^2(x)(1-\cos^2(y))\,$

multiplicando

$1)\sin^2(x)-\sin^2(y)=\sin(x+y)\sin(x-y)\,$

De una manera análoga se halla el segundo teorema.

Eliminar seno y coseno

A veces es necesario transformar funciones de seno y coseno para poderlas sumar libremente, en estos casos es posible eliminar senos y cosenos en tangentes.

$\operatorname{sen}{\left( x \right)} = \frac{\tan{\left( x \right)}}{ \sqrt{1 + \tan^2{ \left( x \right)}} }$

$\operatorname{sen}{\left( x \right)} = {2} \operatorname{sen}{\left( \frac{1}{2} x \right)} \cos{\left( \frac{1}{2} x \right)} = \frac{ 2 \tan{ \left( \frac{1}{2} x \right)}} { 1 + \tan^2{ \left( \frac{1}{2} x \right)}}$

$\cos{\left( x \right)} = \frac{1 - \tan^2{\left( \frac{1}{2} x \right)}}{1 + \tan^2{\left( \frac{1}{2}x\right)}}$

Funciones trigonométricas inversas

$\arctan(x)+\arccot(x)=\left\{\begin{matrix} \pi/2, & \mbox{si }x > 0 \\ -\pi/2, & \mbox{si }x < 0 \end{matrix}\right..$

Composición de funciones trigonométricas


$\operatorname{sin}^2(\arccos(x))=1-x^2$ $\operatorname{sin}^2(\arctan(x))=\frac{x^2}{1+x^2}$ $\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ $\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$	$\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ $\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$ $\operatorname{cos}^2(\arcsin(x))=1-x^2$ $\cos^2(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$

$\operatorname{sin}^2(\arccos(x))=1-x^2$

$\operatorname{sin}^2(\arctan(x))=\frac{x^2}{1+x^2}$

$\tan[\arcsin (x)]=\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

$\tan[\arccos (x)]=\frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}$

$\cos[\arctan(x)]=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$\cos[\arcsin(x)]=\sqrt{1-x^2} \,$

$\operatorname{cos}^2(\arcsin(x))=1-x^2$

$\cos^2(\arctan(x))=\frac{1}{1+x^2}$

Fórmula de productos infinitos

Seno	Coseno
$\operatorname{sen} x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$ $\operatorname{sen}h x = x \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right)$ $\frac{\operatorname{sen} x}{x} = \prod_{n = 1}^\infty\cos\left(\frac{x}{2^n}\right)$	$\cos x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$ $\cosh x = \prod_{n = 1}^\infty\left(1 + \frac{x^2}{\pi^2(n - \frac{1}{2})^2}\right)$

Fórmula de Euler

$e^{ix} = \operatorname{cos{\left( x \right)}} + i\operatorname{ sen{\left( x \right)} }$

$e^{-ix} = \operatorname{cos{\left( x \right)}} - i\operatorname{ sen{\left( x \right)} }$

Historia

Los Elementos de Euclides, que datan del siglo III a. C., contienen ya una aproximación geométrica de la generalización del teorema de Pitágoras: las proposiciones 12 y 13 del libro II, tratan separadamente el caso de un triángulo obtusángulo y el de un triángulo acutángulo. La formulación de la época es arcaica ya que la ausencia de funciones trigonométricas y del álgebra obligó a razonar en términos de diferencias de áreas.Por eso, la proposición 12 utiliza estos términos:

«En los triángulos obtusángulos, el cuadrado del lado opuesto al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo comprendido por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso.»

Euclides, Elementos.

Siendo ABC el triángulo, cuyo ángulo obtuso está en C, y BH la altura respecto del vértice B (cf. Fig. 2 contigua), la notación moderna permite formular el enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

$AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2\ CA\ CH$

Faltaba esperar la trigonometría árabe-musulmana de la Edad Media para ver al teorema evolucionar a su forma y en su alcance: el astrónomo y matemático al-Battani generalizó el resultado de Euclides en la geometría esférica a principios del siglo X, lo que permitió efectuar los cálculos de la distancia angular entre el Sol y la Tierra.Fue durante el mismo período cuando se establecieron las primeras tablas trigonométricas, para las funciones seno y coseno. Eso permitió a Ghiyath al-Kashi matemático de la escuela de Samarcanda, de poner el teorema bajo una forma utilizable para la triangulación durante el siglo XV. La propiedad fue popularizada en occidente por François Viète quien, al parecer, lo redescubrió independientemente.

Fue a finales del siglo XVII cuando la notación algebraica moderna, aunada a la notación moderna de las funciones trigonométricas introducida por Euler en su libro Introductio in analysin infinitorum, permitieron escribir el teorema bajo su forma actual, extendiéndose el nombre de teorema (o ley) del coseno.

Teorema del seno

En todo triángulo se da la siguiente relación entre la longitud de sus lados a, b y c y el seno de sus respectivos ángulos opuestos A, B y C

$\frac{a}{\operatorname{sen}(A)}= \frac{b}{\operatorname{sen}(B)} = \frac{c}{\operatorname{sen}(C)}$

Demostración

El teorema de los senos establece que a/sin(A) es constante.

Dado el triángulo ABC, denotamos por A su circuncentro y dibujamos su circunferencia circunscrita. Prolongando el segmento BO hasta cortar la circunferencia, se obtiene un diámetro BP.

Ahora, el triángulo PBC es recto, puesto que BP es un diámetro, y además los ángulos A y P son iguales, porque ambos son ángulos inscritos que abren el segmento BC (Véase definición de arco capaz). Por definición de la función trigonométrica seno, se tiene

$\operatorname{sen}\,A=\operatorname{sen}\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}$

donde R es el radio de la circunferencia. Despejando 2R obtenemos:

$\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} = 2R$

$\tan{x} = \frac {\operatorname{sen}{x}} {\cos{x}} \qquad \cot{x} = \frac{1} {\tan{x}} = \frac{\cos{x}}{\operatorname{sen}{x}}$