RINCÓN MATEMÁTICO: 2011

domingo, 18 de diciembre de 2011

INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN

En este tema, además de definir tal concepto, se mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más usuales. Es de capital importancia dominar la derivación para después poder abordar el trazado de curvas, así como para comprender la utilidad del cálculo integral, que se estudiarán a continuación. La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por razones que serán fácilmente comprensibles.

FORMULAS DE DERIVADAS INMEDIATAS

REGLAS PARA ENCONTRAR LA DERIVADA

1. Regla para la función constante

Si f(x) = k donde k es una constante, entonces para cualquier x, f '(x) = 0

2. Regla para la función idéntica

Si f(x) = x entonces f '(x) = 1

3. Regla para la potencia

Si f(x) = xⁿ donde n es un entero positivo, entonces f ‘(x) = n x^n-1

4. Regla del múltiplo constante

Si k es una constante y f es una función derivable, entonces (kf) ‘(x) = k f ’(x)

5. Regla para la suma

Si f y g son funciones derivables, entonces (f + g) ‘(x) = f ’(x) + g ’(x)

6. Regla para la diferencia

Si f y g son funciones derivables, entonces (f – g) ‘(x) = f ‘(x) – g ‘(x)

7. Regla para el producto

Sea f y g funciones derivables, entonces (f*g) ’(x) = g (x) * f ’(x) + f(x) * g ‘(x)

8. Regla para el cociente

Si f y g son funciones derivables con g(x) ≠ o entonces (f/g) ‘(x) = g(x) * f ‘(x) – f(x) * g ‘(x) / (g(x)²

CÁLCULO DE DERIVADAS I

Derivada de una función constante

Sea una función constante f(x) = C.

Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de definición de f(x),

f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que

Luego la derivada de una constante es siempre cero.

Derivada de la función lineal mx + b

Sea una función lineal cualquiera f(x) = mx + b. Para un punto cualquiera x,
lo cual significa que la derivada de una recta coincide con la pendiente de ella misma y, en consecuencia, la tangente en un punto a una recta es la propia recta.

Derivada de una constante por una función, k · f(x)

Si k es una constante y f(x) una función, la derivada de la nueva función k · f(x) será:

Se ha demostrado que (k · f(x))' = k · f'(x) Así, para derivar una expresión de la forma
k · f(x), basta derivar la función f(x) y multiplicar después por la constante k.

Derivada de la función potencia x^m (m un número natural)

Para calcular la derivada de la función f(x) = x^m, m > 0, hay que evaluar el cociente

Tomando límites cuando h --> 0,

sumandos tiende a cero (su límite es cero).
Se concluye que

Ejercicio: cálculo de derivadas

Calcular la derivada de f(x) = x² en el punto de abscisa - 1.Resolución:
f '(x) = 2 · x^{2 - 1} = 2 x
f '(- 1) = 2 · (- 1) = - 2
Entonces, la pendiente de la tangente a la parábola y = x² en x = - 1 es - 2.

Derivadas de las funciones trigonométricas sen x y cos x

La derivada de la función f(x) = sen x es f '(x) = cos x

La derivada de la función g(x) = cos x es g '(x) = - sen x

Si necesitas las demostraciones dímelo.

Derivada de la función logaritmo neperiano ln |x|

Puesto que el logaritmo está definido sólo para valores positivos y distintos de cero, es necesario considerar el logaritmo del valor absoluto de x.Para calcular la derivada de esta función se han de considerar dos casos, x > 0 y x < 0:
a) Si x es positivo, aun tomando h negativo, x + h es positivo si se toman valores de h suficientemente pequeños, lo cual es posible pues se va a calcular el límite cuando h tiende a cero. En estas condiciones

Por tanto, si x > 0

b) Si x es negativo, aun tomando h positivo y suficientemente pequeño, x + h sigue siendo negativo y |x + h| = - (x + h) y |x| = - x.

Como se aprecia, se llega a la misma expresión que en el caso anterior y la demostración se continuaría de forma idéntica.

Derivadas de las funciónes exponenciales a^x y e^x

Sea la función y = a^x, siendo a una constante positiva distinta de 1. La derivada de esta función en un punto x es:

y se toman logaritmos neperianos:

Luego:

En particular, cuando la constante a es el número e, la derivada de la función e^x es
(e^x )' = e^x · ln e = e^x · 1 = e^x

Hasta el momento se saben derivar algunas funciones elementales pero no hay nada que permita encontrar las derivadas de una suma, un producto o un cociente de estas derivadas; se requiere, por consiguiente, seguir avanzando en la obtención de propiedades encaminadas a este fin.

Operaciones con funciones

Hay que recordar cómo se definen la suma, el producto y el cociente de funciones. Si f y g son dos funciones definidas en un mismo intervalo (en caso contrario, alguna de estas operaciones podría no estar definida),

Función suma de f y g como la nueva función f + g: [a,b] ---> R,

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

Función producto de f y g como la función f ·g: [a,b] ---> R,

(f · g) (x) = f(x) · g(x)

siempre que g(x) distinto de 0 para todo x del intervalo.

Derivada de una suma de funciones

Si f y g son dos funciones derivables en un mismo punto x de un intervalo, la derivada de la función suma en dicho punto se obtiene calculando

La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas.
[f(x) + g(x)] ' = f '(x) + g '(x)

Derivada de una diferencia de funciones

f - g = f + (- g), por lo que [f(x) + (- g(x))]' = f'(x) + (- g(x))'
Pero - g(x) = (- 1) · g(x) y la derivada de una constante por una función es igual al producto de la constante por la derivada de la función:

[- g(x)]' = [(- 1) · g(x)]' = (- 1) · g'(x) = - g'(x)

En consecuencia,

[f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x)

Ejercicio: cálculo de derivadas